die Präsidentschaft
presidency
The office, function, or dignity of a president.
Er kandidiert für die Präsidentschaft der Vereinigten Staaten.
He is running for the presidency of the United States.

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The office, function, or dignity of a president.
Er kandidiert für die Präsidentschaft der Vereinigten Staaten.
He is running for the presidency of the United States.

The word consists of 'Präsident' (president) and the ending '-schaft'. This ending can indicate an office, a period of time, or a group of people, which explains the different meanings of the word.
Die Endung „-schaft“ verwandelt die Person „Präsident“ in das Konzept „Präsidentschaft“.
The ending '-schaft' turns the person 'Präsident' (president) into the concept 'Präsidentschaft' (presidency).
Verbs like 'kandidieren für' (to run for) or 'übernehmen' (to take over) point to the office. Time expressions like 'während' (during) or 'unter' (under) refer to the term of office.
Er will für die Präsidentschaft kandidieren.
He wants to run for the presidency.
When talking about applying or running for the office, the preposition 'für' is always used: 'für die Präsidentschaft kandidieren' (to run for the presidency).
Sie bereitet ihre Kandidatur für die Präsidentschaft vor.
She is preparing her candidacy for the presidency.
When 'die Präsidentschaft' (the executive board/presidium) refers to a group of people, the word often appears as the subject with verbs that describe a joint action, e.g. 'beschließen' (to decide), 'sich treffen' (to meet), or 'bestehen aus' (to consist of).
Die Präsidentschaft des Vereins trifft sich jeden Monat.
The club's executive board meets every month.
office / agency
'das Amt' and 'die Präsidentschaft' can both mean an official function or the time spent in that function. 'das Amt' is more general: it can refer to many public or official positions. 'die Präsidentschaft' is more specific and means only the office or term of office of a president. So if you are talking about a president, 'Präsidentschaft' is very precise. If the type of position is not that specific, 'Amt' is more natural.

Während ihrer Präsidentschaft hat sie viele neue Projekte begonnen.
During her presidency, she started many new projects.
Nach der Wahl übernimmt Frau Becker ein wichtiges Amt in der Stadt.
After the election, Ms. Becker takes on an important position in the city.