das Vorzeichen
omen
A sign or indication of a future event; an omen.
Dunkle Wolken am Horizont sind oft ein Vorzeichen für ein Gewitter.
Dark clouds on the horizon are often an omen of a thunderstorm.

sign / omen
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omen
A sign or indication of a future event; an omen.
Dunkle Wolken am Horizont sind oft ein Vorzeichen für ein Gewitter.
Dark clouds on the horizon are often an omen of a thunderstorm.

The word is made up of 'vor' (before) and 'Zeichen' (sign). So it literally describes a 'sign that comes before something else'—whether before an event, a number, or a melody.
Ein plötzlicher Temperatursturz war das erste Vorzeichen des nahenden Winters.
A sudden drop in temperature was the first sign of the approaching winter.
You can recognize the meaning of 'Vorzeichen' from the context. If it is about the future or events, it is an omen. In connection with numbers and calculations, the mathematical sign is meant. In texts about music, it refers to musical notation.
Der Streit war ein schlechtes Vorzeichen für die Konferenz.
The argument was a bad omen for the conference.
In the meaning of 'omen', the word is often combined with adjectives. Typical expressions are 'ein gutes/schlechtes Vorzeichen sein' (to be a good/bad omen) or saying that something 'unter einem guten/schlechten Vorzeichen steht' (takes place under good/bad auspices).
Der sonnige Morgen war ein gutes Vorzeichen für unsere Wanderung.
The sunny morning was a good omen for our hike.
In the mathematical context, typical verbs are 'das Vorzeichen ändern' (to change the sign), 'das Vorzeichen wechseln' (to switch signs), or 'ein Vorzeichen vergessen' (to forget a sign). It describes the positive or negative property of a number.
Wenn man eine negative Zahl mit einer negativen Zahl multipliziert, ändert sich das Vorzeichen.
When you multiply a negative number by a negative number, the sign changes.
In music, 'Vorzeichen' refers to the symbols (♯ or ♭) at the beginning of a staff that apply to an entire key. People often speak of the 'Vorzeichen einer Tonart' (the key signature of a key).
Die Tonart G-Dur hat ein Kreuz als Vorzeichen.
The key of G major has one sharp as its key signature.
sign / symbol
'das Zeichen' and 'das Vorzeichen' can both point to something or be a symbol. 'Zeichen' is the general term. It can be a symbol, a marking, or an indication. 'Vorzeichen' is more specific: it can be a sign of something future, or a fixed symbol in mathematics and music. Learners may confuse the words because 'Vorzeichen' seems like a special kind of 'Zeichen'. For general symbols and indications, use 'Zeichen'. 'Vorzeichen' fits when talking about an upcoming event or the special signs + and −, or musical symbols.

In der Matheaufgabe hat Sofia aus Versehen das Vorzeichen vor der Zahl geändert.
In the math problem, Sofia accidentally changed the sign before the number.
Das grüne Zeichen bedeutet, dass wir den Antrag online abschicken können.
The green symbol means that we can submit the application online.