
sich besinnen auf
to recall
To remember something past or forgotten; to bring something back to mind.
Ich musste mich einen Moment besinnen, woher ich diesen Mann kannte.
I had to think for a moment to recall where I knew this man from.
to reflect / to recall
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to recall
To remember something past or forgotten; to bring something back to mind.
Ich musste mich einen Moment besinnen, woher ich diesen Mann kannte.
I had to think for a moment to recall where I knew this man from.

to reflect
To pause and think in order to come to one's senses, reconsider a decision, or make a new resolution.
Nach dem Streit zog er sich zurück, um sich zu besinnen.
After the argument, he withdrew in order to reflect.

to think better of it
To change one's opinion or intention after realizing that the original plan was wrong or unwise.
Er wollte schon kündigen, hat sich dann aber eines Besseren besonnen.
He was already about to quit, but then he thought better of it.
'Besinnen' is always used reflexively, meaning with 'sich' (oneself). The reflexive pronoun must be adapted to the person: ich besinne mich, du besinnst dich, er/sie/es besinnt sich.
Ich muss mich kurz besinnen, bevor ich antworte.
I need to reflect briefly before I answer.
The verb contains the old stem 'sinnen', which means 'to think' or 'to ponder'. The prefix 'be-' intensifies or directs this action.
Er saß am Fenster und schien sich auf etwas Wichtiges zu besinnen.
He sat by the window and seemed to be recalling something important.
In the meaning 'sich erinnern' (to remember), 'besinnen' is always used with the preposition 'auf' and the accusative: sich auf etwas besinnen.
Sie besann sich auf die alten Traditionen ihrer Familie.
She recalled the old traditions of her family.
The idiom 'sich eines Besseren besinnen' (to think better of it) uses the genitive ('eines Besseren'). This is a fixed, unchangeable structure that should be learned as a whole.
Zuerst wollte er die Reise absagen, doch dann besann er sich eines Besseren.
At first he wanted to cancel the trip, but then he thought better of it.
to think
Denken an and sich auf etwas besinnen can both refer to a person or event from the past. Denken an is broader and can also mean that something is currently in your awareness. Sich auf etwas besinnen more strongly refers to retrieving a memory, so it is appropriate when something had been forgotten.

Nach langer Zeit besann sie sich auf den Namen ihrer alten Lehrerin.
After a long time, she recalled the name of her old teacher.
Beim Packen dachte ich an unseren letzten Urlaub.
While packing, I thought about our last vacation.